交流回路・複素数・キルヒホッフの法則

複素数で交流回路を解く問題集

コイルやコンデンサを含む交流回路では、抵抗値の代わりに複素インピーダンスを使います。この記事では、なるべくアドミタンスなどの抽象的な言葉を使わず、「複素抵抗を置く → 電流を求める → キルヒホッフの法則で足す・釣り合わせる」という原始的な流れで問題を解いていきます。

STEP 1 抵抗・コイル・コンデンサを複素抵抗に置き換える。

STEP 2 直列なら電圧の和、並列なら電流の和で考える。

STEP 3 複雑な回路は節点電圧を置いてキルヒホッフで解く。

BASIC

最初に使う基本式

交流回路では、抵抗・コイル・コンデンサを次の複素インピーダンスに置き換えます。その後は、直流回路と同じようにオームの法則とキルヒホッフの法則で処理できます。

抵抗 \[ \(Z_R\)=R \]

コイル \[ \(Z_L\)=j\omega L \]

コンデンサ \[ \(Z_C\)=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C} \]

角周波数 \[ \omega=2\pi f \]

オームの法則 \[ V=IZ,\qquad I=\frac{V}{Z} \]

電流の大きさ \[ |I|=\sqrt{(\text{実部})^2+(\text{虚部})^2} \]

PROBLEMS

単純な回路から複雑な回路へ

ここでは、素子の数が少ない問題から始めて、直列、並列、分圧、複合回路へ進みます。

Problem 1

難易度：★☆☆☆☆

抵抗だけの交流回路

問題

交流電源 \(10\mathrm{V}\) に、抵抗 \(100\Omega\) を接続した。流れる電流を求める。

解き方

\[ Z=R=100\Omega \]

\[ I=\frac{V}{Z}=\frac{10}{100}=0.1\mathrm{A} \]

答え

\(I=0.1\mathrm{A}\)

Problem 2

難易度：★★☆☆☆

RL直列回路

問題

\(R=80\Omega\)、\(L=0.1\mathrm{H}\)、\(f=50\mathrm{Hz}\)、\(V=20\mathrm{V}\) のとき、回路電流を求める。

解き方

\[ \omega=2\pi f \] = 2π × 50 ≒ 314

\[ \(Z_L\)=j\omega L \] = j × 314 × 0.1 = j31.4

直列なので、複素抵抗をそのまま足す。

\[ Z=R+\(Z_L\)=80+j31.4 \]

\[ I=\frac{V}{Z}=\frac{20}{80+j31.4} \]

電流の大きさだけなら、分母の大きさを使う。

\[ |Z|=\sqrt{80^2+31.4^2}\simeq85.9\Omega \]

\[ |I|=\frac{20}{85.9}\simeq0.233\mathrm{A} \]

答え

\(|I|\simeq0.233\mathrm{A}\)

Problem 3

難易度：★★☆☆☆

RC直列回路

問題

\(R=100\Omega\)、\(C=100\mu\mathrm{F}\)、\(f=50\mathrm{Hz}\)、\(V=12\mathrm{V}\) のとき、回路電流を求める。

解き方

\[ \omega=2\pi\times50\simeq314 \]

\[ \(Z_C\)=-\frac{j}{\omega C}=-\frac{j}{314\times100\times10^{-6}}\simeq-j31.8 \]

直列なので、複素抵抗を足す。

\[ Z=R+\(Z_C\)=100-j31.8 \]

\[ I=\frac{V}{Z}=\frac{12}{100-j31.8} \]

\[ |Z|=\sqrt{100^2+31.8^2}\simeq104.9\Omega \]

\[ |I|=\frac{12}{104.9}\simeq0.114\mathrm{A} \]

答え

\(|I|\simeq0.114\mathrm{A}\)

Problem 4

難易度：★★★☆☆

RLC直列回路

問題

\(R=50\Omega\)、\(L=0.2\mathrm{H}\)、\(C=50\mu\mathrm{F}\)、\(f=60\mathrm{Hz}\)、\(V=24\mathrm{V}\) のとき、回路電流を求める。

解き方

\[ \omega=2\pi\times60\simeq377 \]

\[ \(Z_L\)=j\omega L \] = j × 377 × 0.2 = j75.4

\[ \(Z_C\)=-\frac{j}{\omega C}=-\frac{j}{377\times50\times10^{-6}}\simeq-j53.1 \]

直列なので全部足す。

\[ Z=50+j75.4-j53.1=50+j22.3 \]

\[ |Z|=\sqrt{50^2+22.3^2}\simeq54.8\Omega \]

\[ |I|=\frac{24}{54.8}\simeq0.438\mathrm{A} \]

答え

\(|I|\simeq0.438\mathrm{A}\)

Problem 5

難易度：★★★☆☆

RL並列回路を枝電流で解く

問題

\(R=100\Omega\) と \(L=0.1\mathrm{H}\) が並列。\(f=50\mathrm{Hz}\)、V = \(10\mathrm{V}\) のとき、全電流を求める。

解き方

並列回路では、抵抗側にもコイル側にも同じ電圧 \(10\mathrm{V}\) がかかる。そこで枝ごとの電流を求める。

\[ \(Z_R\)=100 \]

\[ \(Z_L\)=j\omega L \] = j × 314 × 0.1 = j31.4

抵抗側の電流。

\[ I_R=\frac{V}{\(Z_R\)}=\frac{10}{100}=0.1 \]

コイル側の電流。

\[ I_L=\frac{V}{\(Z_L\)}=\frac{10}{j31.4}=-j0.318 \]

キルヒホッフの電流則より、電源から流れる全電流は枝電流の和になる。

\[ I_{\mathrm{total}}=I_R+I_L=0.1-j0.318 \]

\[ |I_{\mathrm{total}}|=\sqrt{0.1^2+0.318^2}\simeq0.333\mathrm{A} \]

答え

\(I_{\mathrm{total}}=0.1-j0.318\)、大きさは約 \(0.333\mathrm{A}\)

ポイント： ここでは合成インピーダンスを先に求めていません。各枝の電流を複素数で出して、最後に電流を足しています。

Problem 6

難易度：★★★★☆

RC分圧回路を直列電流から解く

問題

\(R=1\mathrm{k}\Omega\)、\(C=0.1\mu\mathrm{F}\) の直列回路に Vin = \(10\mathrm{V}\)、\(f=1\mathrm{kHz}\) を入力した。コンデンサ両端の \(V_{\mathrm{out}}\) を求める。

解き方

まず回路全体の電流を求める。その後、コンデンサにかかる電圧を求める。

\[ \omega=2\pi\times1000\simeq6283 \]

\[ \(Z_C\)=-\frac{j}{\omega C}=-\frac{j}{6283\times0.1\times10^{-6}}\simeq-j1592 \]

\[ Z_{\mathrm{total}}=R+\(Z_C\)=1000-j1592 \]

\[ I=\frac{V_{\mathrm{in}}}{Z_{\mathrm{total}}}=\frac{10}{1000-j1592} \]

出力はコンデンサ両端なので、

\[ V_{\mathrm{out}}=I\times \(Z_C\) \]

大きさだけなら次のように計算できる。

\[ |Z_{\mathrm{total}}|=\sqrt{1000^2+1592^2}\simeq1880\Omega \]

\[ |I|=\frac{10}{1880}\simeq0.00532\mathrm{A} \]

\[ |V_{\mathrm{out}}|=|I|\times|\(Z_C\)|=0.00532\times1592\simeq8.47\mathrm{V} \]

答え

\(|V_{\mathrm{out}}|\simeq8.47\mathrm{V}\)

ポイント： 電圧分割公式をいきなり使わず、まず直列回路の電流を求めてから、コンデンサの電圧を求めています。

Problem 7

難易度：★★★★★

直列と並列が混ざった複合回路

問題

\(R_1=50\Omega\) が直列にあり、その先で \(L=0.05\mathrm{H}\) の枝と、 R2 = \(100\Omega\)、\(C=50\mu\mathrm{F}\) の直列枝が並列になっている。 \(f=100\mathrm{Hz}\)、\(V_{\mathrm{in}}=15\mathrm{V}\) のとき、電源電流を求める。

解き方

並列部分の上側電圧を \(V_a\) と置く。まず各素子を複素抵抗に直す。

\[ \omega=2\pi\times100\simeq628 \]

\[ \(Z_L\)=j\omega L \] = j × 628 × 0.05 = j31.4

\[ \(Z_C\)=-\frac{j}{\omega C}=-\frac{j}{628\times50\times10^{-6}}\simeq-j31.8 \]

下側の枝は R2 と C の直列なので、

\[ Z_{\mathrm{lower}}=R_2+\(Z_C\)=100-j31.8 \]

キルヒホッフの電流則より、R1 を流れる電流は、上枝電流と下枝電流の和になる。

\[ I=I_L+I_{\mathrm{lower}} \]

\[ I_L=\frac{V_a}{\(Z_L\)},\qquad I_{\mathrm{lower}}=\frac{V_a}{Z_{\mathrm{lower}}} \]

つまり、

\[ I=\frac{V_a}{j31.4}+\frac{V_a}{100-j31.8} \]

また、キルヒホッフの電圧則より、電源電圧は R1 の電圧降下と \(V_a\) の和になる。

\[ V_{\mathrm{in}}=R_1\times I+V_a \]

これに I の式を代入する。

\[ 15=50\left\{\frac{V_a}{j31.4}+\frac{V_a}{100-j31.8}\right\}+V_a \]

この複素方程式を解くと、概ね

\[ V_a\simeq1.90+j4.20 \]

したがって電源電流は、

\[ I=\frac{15-V_a}{50} \]

\[ I\simeq\frac{15-(1.90+j4.20)}{50}\simeq0.262-j0.084 \]

\[ |I|=\sqrt{0.262^2+0.084^2}\simeq0.275\mathrm{A} \]

答え

\(I\simeq0.262-j0.084\)、大きさは約 \(0.275\mathrm{A}\)

ポイント： この問題では、合成インピーダンスを先に作らず、節点電圧 \(V_a\) を置いて、キルヒホッフの電流則と電圧則から解いています。

複素数回路は「電圧と電流の関係」を整理する道具

コイルやコンデンサを含む交流回路でも、複素インピーダンスに置き換えれば、あとはオームの法則とキルヒホッフの法則で処理できます。並列回路では各枝の電流を求めて足す、複合回路では節点電圧を置いて解く。この原始的な流れを押さえると、複雑な交流回路もかなり見通しよく扱えます。

複素数で解く電子回路入門｜交流回路の問題を段階的にマスター