面積分のイメージを具体例で理解する
面積分 \(\int_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\) は、 ある面 \(S\) をベクトル場がどれくらい貫いているかを足し合わせる計算です。 マクスウェル方程式では、電場の流束 \(\int_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}\) や 磁束 \(\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\) として出てきます。
この記事の結論
面積分は「面の上に矢印があるか」ではなく、 面を垂直に貫く成分がどれくらいあるかを足します。
面に平行な成分は、面を貫かないので面積分には効きません。
面積分とは何を足しているのか
ベクトル場 \(\mathbf{F}\) とは、空間の各点に矢印が置かれているものです。 たとえば電場、磁場、流体の速度場、風の流れなどがベクトル場です。
面積分では、面 \(S\) を小さな面積片に分け、 それぞれの面積片を垂直に貫く成分を足し合わせます。
面に垂直に貫く：\(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\) が大きい。
斜めに貫く：垂直成分だけが効く。
面に平行：\(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0\)
面積分の計算式
面 \(S\) の小さな面積片を \(dS\)、その面に垂直な単位法線ベクトルを \(\mathbf{n}\) とすると、 面積ベクトルは次のように書けます。
そのため、面積分は、
つまり、\(\mathbf{F}\) のうち、面の法線方向を向いた成分だけを面全体で足しています。 これは「流束」と呼ばれることがあります。
具体例で面積分のイメージをつかむ
面を貫く向き・角度・面の向きによって、面積分の値は変わります。
一定の場が、平らな面を垂直に貫く
一定の場 \(\mathbf{F}=(0,0,5)\) が、面積 \(A=3\) の平面を垂直に貫くとします。 面の法線も同じ向きなら、
これは、面を通り抜ける量が \(15\) あるという意味です。
斜めに貫く場：垂直成分だけが効く
場の大きさを \(F\)、面の法線との角度を \(\theta\) とすると、 面を貫く成分は \(F\cos\theta\) です。
たとえば \(|\mathbf{F}|=10\)、\(\theta=60^\circ\)、面積 \(A=2\) なら、
斜めに通るほど、面を垂直に貫く量は小さくなります。
面に平行な場：面を貫かないので0
場が面に平行なら、面の法線方向成分はありません。
場の矢印が強くても、面を通り抜けていないなら面積分は0です。 これは線積分で「進行方向と垂直なら0」となるのと似ています。
同じ面でも、法線の向きを逆にすると符号が変わる
面積分では、面の法線の向きを決める必要があります。 法線を逆向きにすると、
つまり、同じ面・同じ場でも、どちら側を正向きにするかで面積分の符号は変わります。 閉じた面では、普通は外向き法線を正にします。
閉じた面から外へ出ていく量を数える
閉じた面の場合は、記号に丸を付けて \(\oint_S\) と書くことがあります。
これは、閉じた面全体から外へ出ていく量の合計です。 外へ出る量が多ければ正、内へ入る量が多ければ負、入る量と出る量が同じなら0です。
発散との関係： 閉じた面の面積分は、その内部にどれだけ湧き出しがあるかと関係します。
点電荷を囲む球面：どの半径でも電場の流束は同じ
点電荷 \(q\) を囲む半径 \(r\) の球面を考えます。 電場の大きさは、
球面では電場は法線方向を向くので、
半径 \(r\) が大きくなると電場は \(1/r^2\) で弱くなります。 しかし球面積は \(4\pi r^2\) で大きくなるため、全体の流束は同じになります。
磁場が面を貫く量：磁束
磁場 \(\mathbf{B}\) が面 \(S\) を貫く量を磁束と呼びます。
磁場が面に垂直に入っているほど磁束は大きくなります。 逆に、磁場が面に平行なら磁束は0です。
マクスウェル方程式では面積分はどう出てくるか
面積分は、マクスウェル方程式の積分形で非常に重要です。 たとえば電場のガウスの法則は、
これは、閉じた面から外へ出る電場の流束が、その内部にある電荷 \(Q\) で決まるという式です。
また、磁場については、
です。 これは、磁場には電荷のような単独の湧き出し口や吸い込み口がないことを表します。
さらにファラデーの法則では、磁束の時間変化が線積分とつながります。
右辺の \[ \int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} \] が磁束です。 磁束が変化すると、周囲に渦状の電場が生じます。
面積分と発散の関係
閉じた面の面積分は、発散と深く関係しています。 その関係を表すのがガウスの発散定理です。
意味： 閉じた面から外へ出ていく総量は、 その内側の体積 \(V\) にある湧き出し量の合計に等しい。
つまり、面積分は「表面をどれだけ通り抜けたか」を見る量で、 発散は「内部でどれだけ湧き出しているか」を見る量です。 ガウスの発散定理は、この2つが一致することを表しています。
面積分のパターン別まとめ
| 状況 | 式 | 面積分 | 直感 |
|---|---|---|---|
| 一定の場が面を垂直に貫く | \(\mathbf{F}\parallel \mathbf{n}\) | 大きい | 面を真正面から通り抜ける。 |
| 斜めに貫く | \(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=|\mathbf{F}|dS\cos\theta\) | 垂直成分だけ | 斜めなので、通り抜ける成分は小さくなる。 |
| 面に平行 | \(\mathbf{F}\perp \mathbf{n}\) | 0 | 面の上を滑るだけで通り抜けない。 |
| 法線を逆向きにする | \(d\mathbf{S}\rightarrow -d\mathbf{S}\) | 符号が逆 | どちら側を正向きにするかで符号が変わる。 |
| 閉じた面 | \(\oint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\) | 外へ出る総量 | 内部に湧き出しがあれば正になる。 |
| 点電荷を囲む球面 | \(\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=q/\varepsilon_0\) | 電荷だけで決まる | 半径によらず、内部の電荷で決まる。 |
| 磁束 | \(\Phi_B=\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\) | 磁場が面を貫く量 | 発電や電磁誘導と関係する。 |
まとめ：面積分は「面をどれだけ貫くか」の合計
- 面積分 \(\int_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\) は、ベクトル場が面を貫く量を足す計算。
- 面に垂直な成分だけが効く。
- 面に平行な成分は、面を貫かないので0。
- 斜めに貫く場合は \(\cos\theta\) が効く。
- 法線の向きを逆にすると、面積分の符号も逆になる。
- 閉じた面の面積分 \(\oint_S\) は、外へ出る総量を表す。
- 電場のガウスの法則では、\(\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=Q/\varepsilon_0\) となる。
- 磁束 \(\Phi_B=\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}\) は、ファラデーの法則で重要になる。
- ガウスの発散定理により、閉じた面の面積分は内部の発散の総量とつながる。
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