ベクトル解析・回転・カール・マクスウェル方程式の準備

回転・カールのイメージを具体例で理解する

回転・カール \(\nabla\times\mathbf{F}\) は、ベクトル場がその場所の周りでどれくらい「ぐるっと回そうとしているか」を表す量です。マクスウェル方程式では \(\nabla\times\mathbf{E}\) や \(\nabla\times\mathbf{B}\) として出てきます。この記事では、矢印の図と簡単な計算を使って、回転の直感をつかみます。

この記事の結論
回転・カールとは何を測っているのか
計算式としての回転・カール
具体例で回転・カールのイメージをつかむ
発散と回転の違い
マクスウェル方程式では回転はどう出てくるか
回転のパターン別まとめ
まとめ：回転は「小さな水車が回るか」を見る

この記事の結論

回転は「矢印が曲がって見えるか」だけではなく、 小さな水車を置いたときに、その水車が回るかどうかを見ます。

\[ \nabla\times\mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \]

BASIC

回転・カールとは何を測っているのか

ベクトル場 \(\mathbf{F}\) とは、空間の各点に矢印が置かれているものです。たとえば電場 \(\mathbf{E}\)、磁場 \(\mathbf{B}\)、流体の速度場、風の流れなどがベクトル場です。

回転・カールは、その点の近くに小さな水車を置いたとき、 その水車が回されるかを表す量です。

回転が正：決めた向きに対して、反時計回りに回そうとする。

回転が負：決めた向きに対して、時計回りに回そうとする。

回転が0：水車を回そうとする偏りがない。

図1：回転は「小さな水車が回るか」で考える

FORMULA

計算式としての回転・カール

3次元のベクトル場を \[ \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) \] と書くと、回転・カールは次のように定義されます。

2次元の図で考えるときは、主に \(z\) 方向成分だけを見れば十分です。 \(\mathbf{F}=(F_x,F_y)\) なら、

\[ (\nabla\times\mathbf{F})_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} – \frac{\partial F_x}{\partial y} \]

この値が正なら反時計回り、負なら時計回りの回転を作ると考えます。

EXAMPLES

具体例で回転・カールのイメージをつかむ

矢印が「曲がっているか」だけではなく、小さな水車を置いたとき左右・上下で受ける押し方に差があるかに注目します。

例1 回転 0

一様な場：矢印はあるが、水車は回らない

図2：一様な場では、水車は流されても回らない

右向きに一定の場を考えます。

\[ \mathbf{F}=(a,0) \]

2次元では、

\[ (\nabla\times\mathbf{F})_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} – \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial 0}{\partial x} – \frac{\partial a}{\partial y} = 0 \]

矢印はありますが、場所によって押し方に差がないため、水車は回りません。ただ全体が右へ流されるだけです。

例2 回転正

反時計回りの渦：水車が回される

図3：反時計回りの渦状の場

原点の周りを反時計回りに回る場を考えます。

\[ \mathbf{F}=(-y,x) \]

\[ (\nabla\times\mathbf{F})_z = \frac{\partial x}{\partial x} – \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 1-(-1) = 2 \]

回転は正です。これは、小さな水車を置くと反時計回りに回されることを表します。

例3 回転負

時計回りの渦：符号が反対になる

図4：時計回りの渦状の場

今度は時計回りに回る場を考えます。

\[ \mathbf{F}=(y,-x) \]

\[ (\nabla\times\mathbf{F})_z = \frac{\partial (-x)}{\partial x} – \frac{\partial y}{\partial y} = -1-1 = -2 \]

回転は負です。反時計回りを正と決めると、時計回りは負になります。

例4 回転あり

せん断流：まっすぐ流れていても、水車は回る

図5：まっすぐな流れでも、速さの差で水車が回る

\(x\) 方向にだけ流れているが、上に行くほど流れが速い場を考えます。

\[ \mathbf{F}=(ay,0) \]

\[ (\nabla\times\mathbf{F})_z = \frac{\partial 0}{\partial x} – \frac{\partial (ay)}{\partial y} = -a \]

矢印は全部右向きで、見た目は渦ではありません。しかし上側の羽根が強く押され、下側の羽根が弱く押されるため、水車は回ります。

回転は「矢印が円を描いているか」だけではありません。 場所による速さの差でも回転が生まれます。

例5 回転 0

中心から広がる場：発散はあるが、回転はない

図6：発散は正だが、回転は0の例

原点から外向きに広がる場を考えます。

\[ \mathbf{F}=(ax,ay) \]

\[ (\nabla\times\mathbf{F})_z = \frac{\partial (ay)}{\partial x} – \frac{\partial (ax)}{\partial y} = 0-0 = 0 \]

この場は外へ湧き出しているので発散は正です。しかし水車を回すような偏りはないので、回転は0です。

例6 電流の周りに回転する磁場

導線まわりの磁場：電流が磁場の渦を作る

図7：導線を流れる電流の周りには磁場が回り込む

アンペール・マクスウェルの法則は、磁場の回転を表します。

\[ \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \]

静かな直流電流だけを考えると、時間変化する電場の項は無視できて、

\[ \nabla\times\mathbf{B} \approx \mu_0\mathbf{j} \]

つまり、電流密度 \(\mathbf{j}\) がある場所では、磁場 \(\mathbf{B}\) に回り込む性質が生まれます。これが、導線の周りに磁場が円を描く理由です。

例7 変化する磁場が電場の渦を作る

ファラデーの法則：磁場が変化すると、渦状の電場ができる

図8：磁束が変化すると、周囲に回り込む電場ができる

ファラデーの電磁誘導の法則は、電場の回転を表します。

\[ \nabla\times\mathbf{E} = – \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \]

これは、 磁場が時間的に変化すると、その周りに渦状の電場ができる という意味です。

マイナス符号は、レンツの法則に対応します。つまり、生じる電場は、磁場の変化を打ち消す向きの電流を作ろうとします。

COMPARISON

発散と回転の違い

見る量	記号	直感	典型例
発散	\(\nabla\cdot\mathbf{F}\)	その場所から湧き出しているか、吸い込まれているか	点電荷から出る電場、排水口へ向かう流れ
回転・カール	\(\nabla\times\mathbf{F}\)	その場所の周りで水車を回そうとしているか	渦、せん断流、導線まわりの磁場、電磁誘導の電場

重要： 外へ広がる場は発散があっても回転はないことがあります。逆に、ぐるぐる回る場は回転があっても発散はないことがあります。

MAXWELL

マクスウェル方程式では回転はどう出てくるか

マクスウェル方程式では、回転は主に次の2つの式に出てきます。